Question

【题目】数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条截线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图2所示：

探究：

（1）若，______°；

（2）改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由；

应用：

（3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______°；

（4）小明继续动手操作，发现了面积的最大值．请你求出这个最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）等腰，证明详见解析；（3）或；（4）面积的最大值为

【解析】

（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；

（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；

（3）分两种情况讨论：①如图2，利用当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=1，故KN⊥B'M，得出∠1=∠NMB=45°；②如图2（2），当△KMN的面积最小值为时，KN=KM=BC=1，故KM⊥B'M．由折叠的性质和周角的定义即可得出结论；

（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．

（1）如图1．

∵四边形ABCD是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1．

∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，∴∠MKN=40°．

故答案为：40；

（2）等腰．理由如下：

∵AB∥CD，∴∠1=∠MND．

∵将纸片沿MN折叠，∴∠1=∠KMN，∴∠MND=∠KMN，∴KM=KN．

故答案为：等腰；

（3）分两种情况讨论：①如图2，当△KMN的面积最小值为时，KN=BC=1，故KN⊥B'M．

∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，∴∠1=∠NMB=45°．

②如图2（2），当△KMN的面积最小值为时，KN=KM=BC=1，故KM⊥B'M．

∵∠NMB=∠NMB'，∠BMB'=90°，∴∠1=∠NMB=（360°－90°）÷2=135°．

故答案为：45°或135°；

（4）分两种情况：

情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．

MK=MB=x，则AM=5﹣x．

由勾股定理得：12+（5﹣x）2=x2，

解得：x=2.6，∴MD=ND=2.6．

S△MNK=S△MND1×2.6=1.3．

情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．

MK=AK=CK=x，则DK=5﹣x．

同理可得：MK=NK=2.6．

∵MD=1，∴S△MNK1×2.6=1.3．

△MNK的面积最大值为1.3．