Question

在钝角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点，且AD与DC的长度为x²-7x+12=0方程的两个根，⊙O是△ABC的外接圆，如果BD长为a（a＞0）．求△ABC的外接圆⊙O的面积．

Answer 1

分析：要求三角形外接圆的面积，则需要求得该圆的半径．首先运用因式分解的方法解一元二次方程，求得的方程的根即是AD和CD的长；因为AD和CD的大小不确定，所以这里应分情况讨论．要求三角形的外接圆的半径，应作直径，构造直角三角形，根据正弦定理进行求解．

解答：解：延长AO交圆O与点E，连接BE，则∠ABE=90°．
∵AD与DC的长度为一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，
∴有两种情况：
①AD=3，DC=4；
②AD=4，DC=3；
在Rt△ADC中，sinC=

AD

AC

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
可得

AB

sinC

=AE，
即AE=

AB

AD

•AC，
当AD=3，DC=4时，
AC=5，
∴AE=

5

3

9+a2

．
⊙O的面积为π•(

AE

2

)2=

25

36

(9+a2)π，
当AD=4，DC=3时，
AB=

16+a2

，
∴AE=

5

4

16+a2

，
∴⊙O的面积为π•(

AE

2

)2=

25

64

(16+a2)π．

点评：此题的难点是求三角形外接圆的半径．注意：正弦定理，在△ABC中，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（R应是三角形的外接圆的半径）．