Question

【题目】如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．

（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；

（2）求∠EOF的度数；

（3）若OE=OF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）45°；（3）

【解析】

（1）设BF=x，则FC=12-x，根据△EBF的周长等于BC的长得出EF=9-x，Rt△BEF中利用勾股定理求出x的值即可得；（2）在FC上截取FM=FE，连接OM．首先证明∠EOM=90°，再证明△OFE≌△OFM（SSS）即可解决问题；（3）证明∠FOC=∠AEO，结合∠EAO=∠OCF=45°可证△AOE∽△CFO得 ，推出AE=OC，AO=CF，由AO=CO，可得AE=×CF=CF，进而求解．

（1）设BF=x，则FC=BC﹣BF=12﹣x，

∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，

∴EF=9﹣x，

在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，

解得：x=4，

则EF=9﹣x=5；

（2）如图，在FC上截取FM=FE，连接OM，

∵C△EBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，

∴BE=MC，

∵O为正方形中心，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，

在△OBE和△OCM中，

∵，

∴△OBE≌△OCM，

∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，

∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，

在△OFE与△OFM中，

∵，

∴△OFE≌△OFM（SSS），

∴∠EOF=∠MOF=∠EOM=45°．

（3）证明：由（2）可知：∠EOF=45°，

∴∠AOE+∠FOC=135°，

∵∠EAO=45°，

∴∠AOE+∠AEO=135°，

∴∠FOC=∠AEO，

∵∠EAO=∠OCF=45°，

∴△AOE∽△CFO．

∴，

∴AE=OC，AO=CF，

∵AO=CO，

∴AE=×CF=CF，

∴=．