Question

【题目】某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．

销售单价x（元）	3.5	5.5
销售量y（袋）	280	120

（1）请求出y与x之间的函数关系式．

（2）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果每天获得不低于160元的利润，销售单价范围是多少？至少出售多少袋？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣80x+560；（2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元；（3）当x＝5.5时，y＝﹣80x+560最小为：120袋．

【解析】

（1）根据每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，可设y＝kx+b，再将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，利用待定系数法即可求解；

（2）根据每天的利润＝每天每袋的利润×销售量﹣每天还需支付的其他费用，列出w关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解；

（3）根据每天获得160元的利润列出方程（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，解方程并结合3.5≤x≤5.5即可求解．

解：（1）设y＝kx+b，

将x＝3.5，y＝280；x＝5.5，y＝120代入，

得，

解得：，

则y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560；

（2）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80

＝﹣80x2+800x﹣1760

＝﹣80（x﹣5）2+240，

∵3.5≤x≤5.5，

∴当x＝5时，w有最大值为240．

故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元；

（3）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，

整理，得x2﹣10x+24＝0，

解得：x1＝4，x2＝6．

∵3.5≤x≤5.5，

∴4≤x≤5.5，

当x＝5.5时，y＝﹣80x+560最小为：120袋．