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设二次函数y1=ax2+bx+c(a>b>c)当自变量x=1时函数值为0,一次函数y2=ax+b.
(1)求证:上述两个函数图象必有两个不同的交点;
(2)若二次函数图象与x轴有一交点的横坐标为t,且t为奇数时,求t的值.
(3)设上述两函数图象的交点A、B在x轴上的射影分别为A1,B1,求线段A1B1的长的取值范围.
分析:(1)将两个解析式组成一个方程组后,然后转化为一个一元二次方程,由根的判别式就可以得出结论.
(2)由条件就可以得出其中一值为1,设出另一交点的横坐标为t,由韦达定理就可以求出t的取值范围,从而可以求出其t值.
(3)由条件利用求根公式可以表示出A1、B1的横坐标,由数轴上的点表示出A1B1的值,确定出
b
a
的取值范围,从而确定出A1B1的范围,得出结论.
解答:解:(1)当自变量x=1时函数值为0,将其代入y1中得到
y1=a+b+c=0,又有a>b>c,可知,a>0,c<0,b的正负不能确定,
联系两个函数,即两线相交:ax2+bx+c=ax+b,
ax2+(b-a)x+(c-b)=0,
△=(b-a)2-4a(c-b)=(b-a)2-4ac+4ab=(b+a)2-4ac,
∵a>0,c<0,-4ac>0,
∴(b+a)2-4ac>0,
∴两个函数图象必有两个不同的交点;

(2)由(1)得,很明显,x=1是二次函数与x轴的一个交点,满足题意,t=1,
如果,另一个根为t,即t≠1,且t为奇数,
则两个根为1,t,
根据韦达定理,
c
a
=1×t,-
b
a
=1+t,
a>0,c<0,可知
c
a
=1×t<0,即t<0,
又a>b,a>0,有
a
a
b
a

即1>
b
a
,得到-
b
a
>-1,
所以,-
b
a
=1+t>-1  即t>-2,
t为奇数,t=-1.
∴t=±1;

(3)上述两函数图象的交点A.B在x轴上的射影分别为A1.B1
有A1,B1为ax2+bx+c=ax+b的两根,
ax2+(b-a)x+(c-b)=0
有两根为
x1=
a-b+
(b-a)2-4a(c-b)
2a
,x2=
a-b-
(b-a)2-4a(c-b)
2a

A1B1=
(b-a)2-4a(c-b)
a

=
(b+a)2-4ac
a

=
(
b
a
+1)
2
-
4c
a

∵-c=a+b,
∴A1B1=
(
b
a
+1)
2
+
4(b+a)
a

=
(
b
a
+1)
2
+4(
b
a
+1)+4-4

=
(
b
a
+3)
2
-4
.          A式
现在关键是求
b
a
的取值范围.
由a>b,a>0,有
a
a
b
a

即1>
b
a

由-a=b+c,b>c,得到-a=b+c<2b,
即-a<2b,得到 
b
a
>-
1
2

-
1
2
b
a
<1分别代入A式为,
3
2
<A1B1<2
3
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点,根的判别式,勾股定理的运用,函数值的运用及韦达定理的运用.
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