Question

10．在△ABC中，AB=4$\sqrt{3}$，AC=4，BC边上的高AD=2$\sqrt{3}$，若一个正方形一边在AB上，另二个顶点分别在AC，BC上，求正方形的边长．

Answer 1

分析 根据条件显然有两种情况，在图1中，设正方形边长为x，通过△BGE∽△BCA，得到$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，求得正方形的边长=6-2$\sqrt{3}$；在图2中，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=6，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=2，求出BC=4，得到△ABC是等腰三角形，设h是△ABC的AB边上的高，求出h=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，设正方形边长为x，由△HGC∽△ABC得，$\frac{HG}{AB}$=$\frac{h-x}{h}$，即$\frac{x}{4\sqrt{3}}$=$\frac{2-x}{2}$，即可求得结果．

解答 解：根据条件显然有两种情况，如图，
在图1中，设正方形边长为x，
∵EG∥AC，FG∥AB，
∴△BGE∽△BCA，
∴$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{x}{4}=\frac{4\sqrt{3}-x}{4\sqrt{3}}$，
解得x=6-2$\sqrt{3}$，
∴正方形的边长=6-2$\sqrt{3}$；
在图2中，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
∵AB=4$\sqrt{3}$，AC=4，AD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=6，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
∴BC=4，
∴△ABC是等腰三角形，设h是△ABC的AB边上的高，
h=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
设正方形边长为x，由△HGC∽△ABC得，$\frac{HG}{AB}$=$\frac{h-x}{h}$，即$\frac{x}{4\sqrt{3}}$=$\frac{2-x}{2}$，
解得x=$\frac{24-4\sqrt{3}}{11}$，
∴正方形的边长=$\frac{24-4\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握的作出图形是解题的关键．