Question

如图，在Rt△POQ中，OP=OQ，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．求证：MA=MB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

解答：证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O=90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=

1

2

OQ=2，MF=

1

2

OP=2，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME=∠BMF  ME=MF ∠AEM=∠BFM

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，作出辅助线，把动点问题转化为固定的图形，构造出全等三角形是解题的关键．