Question

16．问题提出
旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．
初步思考
（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．
小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：
如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）

推广运用
（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=$\sqrt{3}$，PB=5．求PC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ADP是等边三角形，△PDB是直角三角形，两个勾股定理即可解决问题；
（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=$\frac{1}{2}$AP．连接CD、PD．只要证明△DPC是直角三角形，即可解决问题；

解答 解：（1）如图2中，

∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．
∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°．
∵AD=AP，∠PAD=60°，
∴△ADP为等边三角形．
∴PD=PA=3，∠ADP=60°．
又∠ADB=150°，
∴∠PDB=90°．
在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，
∴BP=$\sqrt{D{B}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，

（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=$\frac{1}{2}$AP．连接CD、PD．

∵AB=2AC，AD=$\frac{1}{2}$AP，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{2}$．
又∠CAD=∠BAP，
∴△ABP∽△ACD．
∴CD=$\frac{1}{2}$BP=2.5．
在△PAD中，PA=$\sqrt{3}$，∠PAD=60°，AD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）
∴PD=$\frac{3}{2}$，
∴∠DPC=120°-30°=90°
在Rt△DPC中，PC=$\sqrt{C{D}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=2．

点评 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．