Question

19．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6cm，连接BD，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B的方向运动到点B停止，在运动过程中，过点E作EG⊥AB交折线AD-DB于点G；同时，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D的方向运动到点D停止，设△EFG的面积为y（cm²），点E运动的时间为x（s），（这里规定，线段是面积为0的几何图形）
（1）填空：（用含x的式子表示）
当点G在AD上时，EG=$\sqrt{3}x$cm；
当点G在DB上时，EG=-$\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$cm；
（2）当点F在直线EG上时，直接写出x的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）当点G在AD上时，如图1，根据60°的余切列式可求出EG的长；
当点G在DB上时，如图2，先证明△ABD是等边三角形，再根据60°的余切列式可求出EG的长；
（2）当F在直线EG上时，如图3，根据EG⊥AB，AB∥CD，可知EF⊥DC，作菱形的高线BP，证明BE=PF，则BE=PF=DF=6-x，利用PC列等量关系式：PC=6-2（6-x）=3，求出x的值；
（3）分两种情况：①当G在AD上时，即0≤x≤3，如图1，根据y=S_△EFG=S_梯形AEFD-S_△AEG-S_△DFG代入计算；②当G在BD上时，即3＜x≤6时，如图5，根据y=S_△EFG=S_△EFK-S_△GFK列式计算．

解答 解：（1）当点G在AD上时，如图1，
∵EG⊥AB，∠A=60°，
∴EG=tan60°•AE=$\sqrt{3}$x；
当点G在DB上时，如图2，
∵AE=x，
∴BE=6-x，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴EG=tan60°•BE=$\sqrt{3}$（6-x）=-$\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$x，-$\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$；
（2）当F在直线EG上时，如图3，
∵EG⊥AB，AB∥CD，
∴EF⊥DC，
过B作BP⊥DC，交DC于P，
Rt△BPC中，∠C=60°，BC=6，
∴∠PBC=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵∠BEF=∠EFP=∠FPB=90°，
∴四边形EFPB是矩形，
∴PF=BE=6-x，
∴PC=6-2（6-x）=3，
x=4.5；
（3）如图3，BP=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
当G与D重合时，如图4，可得AE=3
所以分两种情况：
①当G在AD上时，即0≤x≤3，如图1，
四边形AEFD为梯形，
∴y=S_△EFG=S_梯形AEFD-S_△AEG-S_△DFG，
=$\frac{1}{2}$（6-x+x）$•3\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•x•$\sqrt{3}$x-$\frac{1}{2}$（6-x）（3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x），
=-$\sqrt{3}{x}^{2}$+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$x，
②当G在BD上时，即3＜x≤6时，如图5，
Rt△EGB中，BE=6-x，∠ABG=60°，
tan60°=$\frac{EG}{BE}$，cos60°=$\frac{BE}{BG}$，
∴EG=$\sqrt{3}$（6-x），BG=$\frac{6-x}{\frac{1}{2}}$=2（6-x），
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴DG=6-BG=6-2（6-x）=2x-6，
延长EG交DC于K，
∴EK⊥DC，
Rt△DGK中，KG=DG•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2x-6）=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
DK=DG•cos60°=$\frac{1}{2}$（2x-6）=x-3，
∴FK=x-3-（6-x）=2x-9，
∴y=S_△EFG=S_△EFK-S_△GFK=$\frac{1}{2}$（2x-9）$•3\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（2x-9）•（$\sqrt{3}x-3\sqrt{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2x-9）（6-x），
∴y=-$\sqrt{3}{x}^{2}+\frac{21\sqrt{3}}{2}x-27\sqrt{3}$，
综上所述，y与x之间的函数关系式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{x}^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}x（0≤x≤3）}\\{-\sqrt{3}{x}^{2}+\frac{21\sqrt{3}}{2}x-27\sqrt{3}（3＜x≤6）}\end{array}\right.$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质和动点运动问题，还考查了用函数关系式表示变化过程中的三角形的面积，结合等边三角形的特殊角与三角函数等多个知识点，是一道分段函数的问题，难度适中．