Question

某商品的进价为每千克40元，销售单价与月销售量的关系如下表（每千克售价不能高于65元）：

销售单价(元)	50	53	56	59	62	65
月销售量（千克）	420	360	300	240	180	120

该商品以每千克50元为售价，在此基础上设每千克的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每千克商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

Answer 1

（1）y=-20x²+220x+4200（0＜x≤15且x为整数）；（2）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是4800元．

试题分析：（1）销售利润=每件商品的利润×卖出件数，根据每千克售价不能高于65元可得自变量的取值；
（2）把所得二次函数整理为顶点式，得到相应的x的整数值，即可求得相应的售价和最大的月利润．
试题解析：（1）y=（420-20x）（50+x-40）=-20x²+220x+4200（0＜x≤15且x为整数）；
（2）y=-20（x-5.5）²+4805．
∵a=-20＜0，
∴当x=5.5时，y有最大值4805．
∵0＜x≤15且x为整数
∴x=5或6．
当x=5时，50+x=55，y=4800（元），当x=6时，50+x=56，y=4800（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是4800元．
考点: 1.二次函数的应用；2.二次函数的最值．