【题目】如图,正方形ABCD中,点H是边BC上一点(不与点B、点C重合).连接DH交正方形对角线AC于点E,过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G.延长FG与BC的延长线交于点P,连接DF、DP、FH.
(1)∠FDH=______°;DF与DP的位置关系是______,DF与DP的大小关系是______;
(2)在(1)的结论下,若AD=4,求△BFH的周长;
(3)在(1)的结论下,若BP=8,求AE的长.
【答案】(1)45,DF⊥DP,DF=DP;(2)△BFH的周长= 8;(3)AE=4.
【解析】
(1)取DF的中点K,连接AK,EK.想办法证明A,F,E,D四点共圆,推出∠DFE=∠DAE=45°,取PD中点N,连接EN,NC,同法可证:NE=NC=NP=ND,推出D,E,C,P四点共圆,推出∠DPE=∠DCE=45°,可得∠PDF=90°,△DFP是等腰直角三角形,即可解决问题;
(2)只要证明Rt△DAF≌Rt△DCF(HL),推出AF=CP,再证明FH=PH,即可推出△BFH的周长=BF+BH+FH=BF+BH+HP=BF+BH+CH+CP=BF+BC+AF=BC+AB=2AB=2AD;
(3)如图2中,作EM⊥AE交AD的延长线于M,连接PM.想办法证明BP=AM,AM=AE即可解决问题;
解:(1)取DF的中点K,连接AK,EK.
∵DH⊥FP,
∴∠DEF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAF=∠BCD=∠DCP=90°,∠DAC=∠DCA=45°,
∵FK=KD,
∴KA=KF=KD=KE,
∴A,F,E,D四点共圆,
∴∠DFE=∠DAE=45°,
取PD中点N,连接EN,NC,同法可证:NE=NC=NP=ND,
∴D,E,C,P四点共圆,
∴∠DPE=∠DCE=45°,
∴∠PDF=90°,△DFP是等腰直角三角形,
∴DF=DP,DF⊥DP,
∵DE⊥PF,
∴∠FDE=∠PDE=∠PDF=45°,
故答案为45,DF⊥DP,DF=DP.
(2)∵AD=DC,DF=DP,∠DAF=∠DCP=90°,
∴Rt△DAF≌Rt△DCF(HL),
∴AF=CP
∵DF=DP,DE⊥PF,
∴EF=PE,
∴FH=PH,
∴△BFH的周长=BF+BH+FH=BF+BH+HP=BF+BH+CH+CP=BF+BC+AF=BC+AB=2AB=2AD=8.
(3)如图2中,作EM⊥AE交AD的延长线于M,连接PM.
∵△DFE,△AEM都是等腰直角三角形,
∴EF=ED,EA=EM,
∵∠AEM=∠FED=90°,
∴∠AEF=∠DEM,
∴△AEF≌△MED(SAS),
∴AF=DM,
∵AF=PC,
∴DM=PC,
∵DM∥PC,∠DCP=90°,
∴四边形DCPM是矩形,四边形ABPM是矩形,
∴AM=BP,
∵AM=AE,
∴BP=AE,
∵PB=8,
∴AE=4.
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【题目】某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
(1)若每个房间定价增加40元,则这个宾馆这一天的利润为多少元?
(2)若宾馆某一天获利10640元,则房价定为多少元?
(3)房价定为多少时,宾馆的利润最大?
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【题目】如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,使点D恰好落在BC边上的F点处.已知折痕,且,那么该矩形的周长为______cm.
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【题目】如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠C=120°,点E在上.
(1)求∠E的度数;
(2)连接OD、OE,当∠DOE=90°时,AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边,求n的值.
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【题目】课前预习是学习的重要环节,为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况,某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查,他将调查结果分为四类:A.优秀,B.良好,C.一般,D.较差,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.
(1)本次调查的样本容量是 ;其中A类女生有 名,D类学生有 名;
(2)将条形统计图和扇形统计图补充完整;
(3)若从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习,即A类学生辅导D类学生,请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率.
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【题目】数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值,即:点A、B表示的数分别为a、b,这两点之间的距离为AB=,如:表示数1与5的两点之间的距离可表示为,表示数-2与3的两点之间的距离可表示为.
(1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ,数轴上表示3和-6的两点之间的距离是 ;
(2)数轴上表示x和-2的两点M和N之间的距离是 ,如果,则x为 ;
(3)当式子:取最小值时,x的值为 ,最小值为 .
(借助数轴,画出图形,写出过程)
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【题目】下表是小明某一周的收支情况,规定收入为正,支出为负.(单位:元)
周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周日 |
15 | 12 | 0 | 20 | 15 | 10 | 14 |
8 | 12 | 19 | 10 | 9 | 11 | 8 |
(1)小明哪天的收入小于支出?答:
(2)小明这一周的平均支出是多少?
(3)小明这一周共有多少节余?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0).点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上,设点P的横坐标为m.当0≤m≤3时,△PAB的面积S的取值范围是_____.
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【题目】如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2)。
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△AOC =2,求点C的坐标。
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