Question

如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF与AC交于点G，且∠BDE=∠A．
（1）试问：AB•FG=CF•CA成立吗？说明理由；
（2）若BD=FC，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据已知证明△FGC∽△ACB，由于相似三角形的对应边成比例，即可得出AB•FG=CF•CA；
（2）根据已知条件，利用等角对等边定理可推出△ABC是等腰三角形．

解答：解：（1）成立．
理由：∵四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD，
∴∠F=∠DEF，∠DEF=∠BDE，∠FGC=∠ACB．
又∠BDE=∠A，
∴∠A=∠F．∴△FGC∽△ACB
∴

FG

AC

=

CF

AB

∴AB•FG=CF•CA；

（2）证明：∵BD=FC，ED=FC，
∴BD=ED．
∴∠B=∠BED．
∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴∠BED=∠BCA，
∴∠B=∠BCA，
∴AB=AC．
则△ABC是等腰三角形．

点评：此题主要考查了学生对相似三角形的判定，等腰三角形的判定及等腰梯形的性质等的掌握情况及运用能力．