Question

1．如图，在△ABC中，P是△ABC内角平分线的BP，CP的交点．Q是△ABC中∠B、∠C外角平分线的交点．
（1）求证：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）探索∠P+∠Q为定值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠P的度数；
（2）本题考查的是三角形内角和定理．因为BP，CP是内角平分线，BQ，CQ是∠ABC，∠ACB的外角平分线，又因为∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，易求出∠Q+∠P的值．

解答 解：（1）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
又∵BP、CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠P+∠Q=180°．
如图，

∵∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°
BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠PBQ=90°，∠PCQ=90°，
∵四边形PBCQ的内角和为360°，
∴∠Q+∠P=180°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，此类题解答的关键是利用角平分线的性质得到∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）和∠PBQ=90°，∠PCQ=90°．