Question

10．如图，正方形ABCD，点E是对角线AC上一点，连接BE，过E作EF⊥BE，EF交CD于F，若AE=2$\sqrt{2}$，CF=5，则正方形ABCD的面积为81．

Answer 1

分析 根据正方形的判定，可得四边形EMCN是正方形，根据全等三角形的判定与性质，可得BM=FN，根据平行线分线段成比例，可得关于x的方程，根据解方程，可得BM的长，根据线段的和差，可得正方形的边长，根据正方形的面积公式，可得答案．

解答 解：作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∴∠EMC=∠MCN=∠CNE=∠NEM=90°，
∴四边形EMCN是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴∠MCE=45°，
∴MC═ME，
∴四边形EMCN是正方形．
∠BEM+∠MEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠BEM=∠FEN，
在△BEM和△FEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEM=∠FEN}\\{EM═EN}\\{∠EMB=∠ENF}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△FEN  （ASA），
∴BM=FN．
设BM=x，则NF=x，
∴EM=CM=CN=5+x，
∴CE=$\sqrt{2}$（5+x），
∵EM∥AB，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CM}{BM}$，
∴$\frac{\sqrt{2}（5+x）}{2\sqrt{2}}$=$\frac{5+x}{x}$，
解得：x=2或-5（舍），
∴BC=BM+CM=2+2+5=9，
∴正方形ABCD的面积为：9×9=81，
故答案为：81．

点评 本体考查了正方形的性质，利用全等三角形的判定与性质得出BM=FN是解题关键，又利用平行线分线段成比例得出BM的长．