Question

设一组数据是x₁，x₂，…，x_n，它们的平均数是，方差．
（Ⅰ）证明：方差也可表示为；并且s²≥0，当x₁=x₂=…=x_n=时，方差s²取最小值0；
（Ⅱ）求满足方程的一切实数对（x，y）．

Answer 1

解：（1）∵，
=[x₁²+-2x₁+x₂²+-2+…+x_n²+-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）+（++…+）+（-2x₁-2-…-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）++（-2x₁-2-…-2x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）+-2（x₁+x₂+…+x_n]，
=（x₁²+x₂²+…+x_n²）-，
∴；
当x₁=x₂=…=x_n=时，
s²=-=0，
∴此时方差s²取最小值0；

（2）设数据-x，（y-1），x-y的平均数为：
=[（-x）+（y-1）+（x-y）]，
=-，
方差s²=[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（）²=-（-）²，
当且仅当-x=y-1=x-y==-时，
s²=0，
此时x=，y=．
分析：（1）根据方差的定义的公式展开，进行整理得出命题的正确性；
（2）结合方差s²=[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（）²=-（-）²，当且仅当-x=y-1=x-y==-时，求出即可．
点评：此题主要考查了方差公式的证明以及综合应用，正确的将公式变形是解决问题的关键．