Question

6．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．
（1）求证：∠DBF+∠DFB=90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数．
（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，$\frac{∠DEC+∠DMH}{∠ANF}$的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．

Answer 1

分析 （1）根据DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分线的性质，即可解答；
（2）根据FD⊥AB，∠BGC=50°，得到∠DHG=40°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=50°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=100°，利用三角形内角和为180°，∠DEC=180°-（∠EDC+∠ACD）=180°-100°=80°．
（3）不变，根据∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，即可解答．

解答 解：（1）如图1，

∵DE∥BC，
∴∠EDB+∠DBC=180°，
∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，
∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，
∴2∠FDC+2∠CDB=180°，
∴∠FDC+∠CDB=90°，
∴FD⊥BD，
∴∠DBF+DFB=90°．
（2）如图2，

∵∠BGC=50°，FD⊥BD，
∴∠DHG=40°，
∴∠FDC+∠HCD=40°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，
∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=80°，
∴∠DEC=180°-（∠EDC+∠ACD）=180°-80°=100°．
（3）不变，如图3，

∵∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，
∴$\frac{∠DEC+∠DMH}{∠ANF}$=$\frac{2（∠ADF+∠DAN）}{∠ADF+∠DAN}$=2．

点评 本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．