Question

25、如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；
（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．

Answer 1

分析：（1）△ACD和△CBF中，已知的条件有：AC=BC，CD=BF，∠ACD=∠CBF=60°；根据SAS即可判定两个三角形全等．
（2）由（1）的全等三角形知：AD=CF，即DE=CF=AD；因此只需判断DE与CF是否平行即可．
由（1）的全等三角形，可得∠DAC=∠BCF，而∠BCF+∠ACG=60°，即∠CAD+∠ACG=60°；根据三角形外角的性质，可得∠DBC=60°=∠ADE，由此可判定DE∥FC，即可得出四边形CDEF的形状．
（3）由于四边形EDCF是平行四边形，当∠DEF=30°时，∠DCF=30°；由（2）知：∠DCF=∠DAC，因此∠DAC=30°，即D点移动到BC中点时∠DEF=30°．

解答：解：（1）△ACD≌△CBF
证：∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∠ACD=∠B=60°
∵CD=BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）
（2）四边形CDEF为平行四边形
∵△ACD≌△CBF
∴∠DAC=∠BCF，CF=AD
∵△AED是等边三角形
∴AD=DE
∴CF=DE①
∴∠ACG+∠BCF=60°
∴∠ACG+∠DAC=60°
∴∠AGC=180°-（∠ACG+∠DAC）=120°
∴∠DGF=∠AGC=120°
∵△AED是等边三角形
∴∠ADE=60°
∴∠DGF+∠ADE=180°
∴CF∥DE②
综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．
（3）当点D是BC中点时，∠DEF=30°．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定和性质等知识，综合性较强，难度较大．