Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AD=6,DC=7，点H为AD上一点，并且AH=2，点E为AB上一动点，以HE为边长作菱形HEFG，并且使点G在CD边上，连接CF

（1）如图1，当DG=2时，求证：四边形EFGH为正方形；

（2）如图2，当DG=6时，求△CGF的面积；

（3）当DG的长度为何值时，△CGF的面积最小，并求出△CGF面积的最小值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）1（3）当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）

【解析】

（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，可得∠D=∠A=90°，HG=HE；已知AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，由全等三角形的性质可得∠DHG=∠HEA，再证得∠EHG=90°，即可判定四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x=时，△GCF的面积最小，由此即可解答．

（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，

∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，

∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），

∴∠DHG=∠HEA，

∵∠AHE+∠HEA=90°，

∴∠AHE+∠DHG=90°，

∴∠EHG=90°，

∴四边形HEFG为正方形；

（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG=∠MGE，

∵HE∥GF，

∴∠HEG=∠FGE，

∴∠AEH=∠MGF，

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴△AHE≌△MFG，

∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，

因此S△FCG＝×FM×GC＝×2×(7-6)＝1；

（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，

∴HE2≤53，

∴x2+16≤53，

∴x≤，

∴S△FCG的最小值为7-，此时DG=，

∴当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）．