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【题目】如图,在中,是直径,点上一点,点是弧的中点,于点,过点的切线交的延长线于点,连接,分别交于点.连接,关于下列结论:① ;②;③点的外心,其中正确结论是(

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

【解析】

由于不一定相等,根据圆周角定理可知①错误;连接OD,利用切线的性质,可得出∠GPD=∠GDP,利用等角对等边可得出GPGD,可知②正确;先由垂径定理得到A的中点,再由C的中点,得到,根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP,利用等角对等边可得出APCP,又AB为直径得到∠ACQ为直角,由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC,得出CPPQ,即P为直角三角形ACQ斜边上的中点,即为直角三角形ACQ的外心,可知③正确;

∵在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,

∴∠BAD≠∠ABC,故①错误;

连接OD

ODGD,∠OAD=∠ODA

∵∠ODA+∠GDP90,∠EPA+∠EAP=∠EAP+∠GPD90

∴∠GPD=∠GDP

GPGD,故②正确;

∵弦CFAB于点E

A的中点,即

又∵C的中点,

∴∠CAP=∠ACP

APCP

AB为圆O的直径,

∴∠ACQ90

∴∠PCQ=∠PQC

PCPQ

APPQ,即PRtACQ斜边AQ的中点,

PRtACQ的外心,故③正确;

故选C

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