Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（3，0）和点B（2，3），过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠CAO=$\frac{1}{3}$．
（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；
（2）联结AB、BC，求∠ABC的正切值；
（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S_△DBC=S_△ADC时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=-x²+bx+c，解方程组即可解决问题．
（2）如图，作BE⊥OA于E．只要证明△AOC≌△BEA，推出△ABC是等腰直角三角形，即可解决问题．
（3）如图过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S_△DBC=S_△ADC，先求出直线AC的解析式，再求出直线CD的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）把A（3，0）和点B（2，3）代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
对称轴x=1．

（2）如图，作BE⊥OA于E．
∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO=$\frac{1}{3}$，
∴OC=1，
∴BE=OA=3，AE=OC=1，∵AEB=∠AOC，
∴△AOC≌△BEA，
∴AC=AB，∠CAO=∠BAE，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO+∠BAE=90°，
∴∠CAB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴tan∠ABC=1．

（3）如图过点C作CD∥AB交对称轴于D，则S_△DBC=S_△ADC，
∵AB⊥AC，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵直线AC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，
∴直线CD的解析式为y=-3x-1，当x=1时，y=-4，
∴点D的坐标为（1，-4）．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用平行线，寻找等面积的三角形，属于中考常考题型．