Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求B点与顶点D的坐标；

（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S△ADM＝5，求直线l的解析式；

（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）D（1，﹣4），B（3，0）；（2）y＝﹣x+3；（3）．

【解析】

（1）把点A的坐标（-1，0）代入y=ax2-（a+1）x-3中，可求得a的值，配方后可得顶点D的坐标，由对称性可得点B的坐标；

（2）根据三角形的面积=铅直高度与水平宽度的积，列等式，可得OM的长，写出M的坐标，利用待定系数法求直线l的解析式；

（3）根据对折的性质得新抛物线的顶点坐标，由开口相同可知：a=1，可得解析式，当图象G与直线l没有公共点时，即两解析式联立方程组无解，可得结论．

解：（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入y＝ax2﹣（a+1）x﹣3中，

得：a+（a+1）﹣3＝0，

a＝1，

∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4），

由对称性得：B（3，0）；

（2）设直线AD的解析式为：y＝kx+b，

则，

解得：，

∴直线AD的解析式为：y＝﹣2x﹣2，

设AD交y轴于N，

∴ON＝2，

∴S△ADM＝MN（﹣xA+xD）＝5，

∴（2+OM）×（1+1）＝5，

OM＝3，

∴M（0，3），

设直线l的解析式为：y＝kx+b，

则，

解得：；

直线l的解析式为：y＝﹣x+3；

（3）如图2，由对折得：OC＝3+2（t﹣3）+2＝2t﹣1，

∴新抛物线的顶点为（2t﹣1，﹣4），

解析式为：y＝（x﹣2t+1）2﹣4，

则，

（x﹣2t+1）2﹣4＝﹣x+3，

x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣4t﹣6＝0，

当△＜0时，图象G与直线l没有公共点，

即△＝[﹣（4t﹣3）]2﹣4（4t2﹣4t﹣6）＜0，

t＞，

故答案为：．