Question

已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB²=AE·AC，BD=8，

【小题1】判断△ABD的形状并说明理由；
【小题2】求△ABD的面积

Answer 1

【小题1】△ABD是等腰三角形
如图，连接OA、OB，交DB于F；
∵AB²=AE•AC，即；
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
∴∠DBA=∠BCA；
而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形。（4分）
【小题2】∵AB=AD，
∴OA⊥BD，且F为BD的中点；
∴BF=4；
在Rt△BOF中，OB²=BF²+OF²，∴OF=3；
而OA=5，∴AF=2；
∴S_△ABD=BD×AF=8．（10分）

解析