Question

16．如图，矩形ABCD中，AD=5，E、F分别是BC、AD边上的点，AF=x，四边形ABEF沿EF翻折至A′B′EF，点B′恰好落在边CD上，A′B′与AD相交于点G，△B′GD≌△FGA′．
（1）填空：AB=5-x；（用含x的式子表示）
（2）若x=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得A′F=AF=x，AB=A′B′．设DG=y，则FG=AD-AF-DG=5-x-y．由△B′GD≌△FGA′，根据全等三角形的对应边相等得出B′G=FG=5-x-y，A′G=DG=y，那么A′B′=A′G+B′G=y+5-x-y=5-x，进而求出AB；
（2）由x=2，得出A′F=AF=2，AB=A′B′=3．设DG=y，在Rt△B′DG中，利用勾股定理得出B′G²=DG²+B′D²，即（3-y）²=y²+2²，解方程求出y=$\frac{5}{6}$，再证明△DB′G∽△CEB′，根据相似三角形对应边成比例求出CE=$\frac{12}{5}$，BE=BC-CE=5-$\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$．过F作FH⊥BC于H，在Rt△EFH中利用勾股定理即可求出EF．

解答 解：（1）∵四边形ABEF沿EF翻折至A′B′EF，
∴A′F=AF=x，AB=A′B′．
设DG=y，则FG=AD-AF-DG=5-x-y．
∵△B′GD≌△FGA′，
∴B′G=FG=5-x-y，A′G=DG=y，
∴A′B′=A′G+B′G=y+5-x-y=5-x，
∴AB=5-x．
故答案为5-x；

（2）∵x=2，
∴A′F=AF=2，AB=A′B′=3．
设DG=y，则FG=AD-AF-DG=3-y．
∵△B′GD≌△FGA′，
∴B′G=FG=3-y，B′D=A′F=2，
在Rt△B′DG中，∵∠D=90°，
∴B′G²=DG²+B′D²，即（3-y）²=y²+2²，
解得y=$\frac{5}{6}$，
∴DG=$\frac{5}{6}$．
在△DB′G与△CEB′中，
∵∠D=∠C=90°，∠DB′G=∠CEB′=90°-∠CB′E，
∴△DB′G∽△CEB′，
∴$\frac{DB′}{CE}$=$\frac{DG}{CB′}$，即$\frac{2}{CE}$=$\frac{\frac{5}{6}}{1}$，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴BE=BC-CE=5-$\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$．
如图，过F作FH⊥BC于H，则BH=AF=2，HE=BE-BH=$\frac{13}{5}$-2=$\frac{3}{5}$．
在Rt△EFH中，∵∠EHF=90°，
∴EF²=HE²+FH²=（$\frac{3}{5}$）²+3²=$\frac{234}{25}$，
∴EF=$\frac{3\sqrt{26}}{5}$．

点评 本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度适中．