Question

（1）已知：如图，AC∥DE，AC=DE，BE=CF，求证：∠B=∠F．
（2）已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．
①求证：BC与⊙O相切；
②若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD=6，CE=4，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定定理可判定△ABC≌△DFE，即可得出∠B=∠F．
（2）①要证BC与⊙O相切；只需证明OB⊥BC即可，根据角之间的互余关系易得证明；
②根据平行线的性质可得OC⊥BD，进而可得△OBE∽△BCE，可得出比例关系式，

OE

BE

=

BE

EC

代入数据即可得到答案．

解答：证明：（1）根据题意，AC∥DE，AC=DE，
即有∠ACB=∠DEF，又BE=CF，即BC=EF，
即△ABC≌△DFE，
故∠B=∠F．

（2）①证明：∵AB是直径，
∴∠D=90°，AD⊥BD．
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．
∵OB是半径，
∴BC与⊙O相切．
②解：∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．（5分）
∴BE=DE=

1

2

BD=3．
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．
∴

OE

BE

=

BE

EC

即

OE

3

=

3

4

，
∴OE=

9

4

．
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=

9

2

．

点评：本题考查先是考查了全等三角形的判定，又考查了切线的判定及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．