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(2003•西城区模拟)已知:抛物线y=ax2+(1-a)x+(5-2a)与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,tan∠CAO-tan∠CBO=2.
(1)当抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)当线段OB与线段OC长度相等时,在抛物线的对称轴上取一点P,以点P为圆心作圆,使它与x轴和直线BD都相切,求点P的坐标.
【答案】分析:(1)先根据根与系数的关系,表示出OA、OB、OC的长,然后根据tan∠CAO-tan∠CBO=2即可得出关于a的方程,进而可求出a的值和抛物线的解析式.根据抛物线的解析式即可求出顶点D的坐标.
(2)本题可先设出P点的坐标,P点的横坐标为抛物线的对称轴的值,纵坐标的绝对值就是圆的半径,连接PF后可根据相似三角形DPF和DEB求出圆的半径的长,也就能求出P点的坐标.
解答:解:(1)设A(x1,0)、B(x2,0)
依题意:x1<0,x2>0
并且x1、x2是关于x的方程ax2+(1-a)x+(5-2a)=0的两个实数根
∴△=(1-a)2-4a(5-2a)=9a2-22a+1>0,x1+x2=
x1x2=<0
①当点C在y轴正半轴上时,
∵C(0,5-2a)
∴OC=5-2a>0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2 tan∠CAO=,tan∠CBO=
-=2
∵AO=-x1,OB=x2
=2
=2
=2
解得:a=-1
当a=-1时符合题意
∴y=-x2+2x+7,即顶点D(1,8)
②当点C在y轴负半轴上时,
∵C(0,5-2a)
∴CO=2a-5>0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2tan∠CAO=,tan∠CBO=
=2
∵AO=-x1,OB=x2
=2
=2
=2
解得:a=3
当a=3时符合题意
∴y=3x2-2x-1,顶点D(
综上所述,抛物线的解析式为y=-x2+2x+7或y=3x2-2x-1,相应顶点D的坐标为(1,8)或(

(2)当抛物线的解析式为y=-x2+2x+7时,B(1+2,0),C(0,7),OB<OC,不合题意;
当抛物线的解析式为y=3x2-2x-1时,B(1,0),C(0,-1),OB=CO
∴抛物线y=3x2-2x-1符合题意(6分)
作PE⊥x轴于点E,PF⊥BD于点F.
设点P的坐标为(
顶点D
∵⊙P与x轴、直线BD都相切
∴线段EP与线段FP长度相等
∵∠PDF=∠BDE,∠DFP=∠DEB
∴△DPF∽△DBE

①当点P在第一象限时,m>0
=
∴m=
∴P(
②当点P在第四象限时,点P一定在线段DE上,-<m<0
=
∴m=
∴P(
∴点P的坐标为P()或P().
点评:本题着重考查了一元二次方程根与系数的关系、切线的性质、三角形相似等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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(2)求图2中表示的每件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);
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