Question

△ABC中，AD是∠BAC的平分线，G是BC的中点，过G作直线FG平行于AD，分别交AB和CA的延长线于点E和点F，求证：BE=CF=

1

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（AB+AC）．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，根据平行线分线段成比例定理可得CE=BN，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEG=∠N，再根据平行线的性质与角平分线的定义求出∠CEG=∠DAC=∠F，从而得到∠F=∠N，然后证明得到△BEN是等腰三角形，再根据平行线的性质求出∠F=∠FEA，根据等角对等边的性质求出AE=AF，然后列式整理即可得证．

解答：证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，
∵BN∥AC，BG=CG，
∴CF：BN=CG：BG，∠CEG=∠N，
∴CE=BN，
又∵AD∥GF，AD平分∠BAC，
∴∠CFG=∠DAC=∠F，
∴∠F=∠N，
∴△BFN是等腰三角形，
∴BF=BN=CE，
∵∠FEA=∠CEG，
∴∠F=∠FEA，
∴AF=AE，
AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC，
即BF=CE=

1

2

（AB+AC）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，两直线平行，同位角相等的性质，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．