Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（0，1），C（2，）．
（Ⅰ）直线l：y=kx+b过A、B两点，求k、b的值；
（Ⅱ）求过A、B、C三点的抛物线Q的解析式；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中的抛物线Q的对称轴与x轴相交于点E，那么在对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线l：y=kx+b过A、B两点，把这两点的坐标代入函数解析式，就可以得到关于k，b的方程组，就可以求出k，b的值．
（2）A、B、C三点的坐标已知，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切，应分F在x轴的上方和下方两种情况进行讨论．当F在x轴的上方时，设直线l与x轴的交点是P，则PF是三角形MPE的角平分线，根据三角形角平分线的性质就可以求出F的坐标．
当F在x轴的下方时，△MNF为等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质就可以求出F点的坐标．
解答：解：（Ⅰ）∵直线y=kx+b过A、B两点，
∴（1分）
解这个方程组，
得k=1，b=1．（2分）

（Ⅱ）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有：（3分）
解这个方程组，
得
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1．（4分）

（Ⅲ）存在⊙F与直线l和x轴同时相切．
易知抛物线Q的对称轴为x=2，（5分）
①当圆心F在x轴的上方时，
设点F的坐标为（2，y），把x=2代入y=x+1，
得y=3．
∴抛物线Q的对称轴与直线l的交点为M（2，3）．（6分）
∴EF=y，ME=3，MF=ME-EF=3-y．（7分）
由直线l：y=x+1知，
∠NMF=45度．
∴△MNF是等腰直角三角形
∴MF=NF=EF
∴3-y=y
∴y=3-3
∴点F的坐标为（2，3-3）．（8分）
②当圆心F在x轴的下方时，设点F的坐标为（2，y），则MF=3-y，FE=-y．
由△MNF为等腰直角三角形，得3-y=y，（9分）
∴y=-3-3
∴点F的坐标为（2，-3-3）．（10分）
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式．利用数形结合的方法解决本题，理解图形中圆与直线的关系是解题的关键．