Question

若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点A（1，0）、B（-3，0），与y轴的负半轴交于点C，且S_△ABC=6．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式和顶点P的坐标；
（Ⅱ）经过A、B、P三点画⊙O′，求⊙O′的面积；
（Ⅲ）设抛物线上有一动点M（a，b），连AM，BM，试判断△ABM能否是直角三角形？若能，求出M点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵y轴的负半轴交于点C（0，c），
∴c＜0，
∵A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABC=×AB×|c|=6，
∴c=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为：y=x²+2x-3，
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴顶点P的坐标为（-1，-4）；

（Ⅱ）如图：根据题意得：PA=PB，
过点P作PC⊥AB于C，
∴AC=BC，
∴O′在PC上，
设O′的坐标为（-1，m），
∵O′P=O′B=，
∴m-（-4）=，
解得：m=-，
∴O′P=-+4=，
∴⊙O′的面积为：π；

（Ⅲ）存在．
设抛物线上有一动点M（x，x²+2x-3），
若△ABM是直角三角形，
则∠AMB=90°，
∴AM²+BM²=AB²，
∴（x+3）²+（x²+2x-3）²+（x-1）²+（x²+2x-3）²=16，
∴2（x²+2x-3）²+（2x²+4x+10）=16，
∴2（x²+2x-3）²+2（x²+2x-3）+16=16，
∴（x²+2x-3）（x²+2x-3+1）=0，
解得：x₁=-3（舍去），x₂=1（舍去），x₃=-1，x₄=--1，
当x₃=-1时，y=-1，
当x₄=--1时，y=-1，
∴M点的坐标为：（-1，-1）或（--1，-1）．
分析：（Ⅰ）由A（1，0）、B（-3，0），与y轴的负半轴交于点C，且S_△ABC=6，即可求得c的值，即点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，然后利用配方法即可求得顶点P的坐标；
（Ⅱ）由经过A、B、P三点画⊙O′，即可知O′在以△ABP的三边的垂直平分线的交点处，则过点P作PC⊥AB于C，根据二次函数的对称性，可知点O′在此直线PC上，即可设O′为（-1，m），然后由O′P=O′B，即可求得m的值，继而得到⊙O′的半径长，利用圆的面积公式求得⊙O′的面积；
（3）由抛物线上有一动点M（a，b），△ABM是直角三角形，可知∠AMB是直角，然后设M（x，x²+2x-3），根据勾股定理，即可求得方程：（x+3）²+（x²+2x-3）²+（x-1）²+（x²+2x-3）²=16，解此方程即可求得M点的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外接圆、勾股定理、两点间的距离公式等知识．此题综合性很强，难度较大，解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．