Question

（1）已知：如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的两个定点，在BC上找一点E，使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法；
（2）已知：如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法；
（3）已知：如图3，在△ABC中，是否存在D、E、F分别在AB、BC、CA，且△DEF的周长最小？若存在请作出相应图形并写出作法；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作点D关于BC的对称点D′，然后连接D′F交BC于点E，则点E即为所求作的点；
（2）作点D关于BC的对称点D′，作点D关于AC的对称点D″，然后连接D′D″交BC于点E，交AC于点F，则点E、F即为所求作的点；
（3）先过A作AE⊥BC于点E，再作点E关于AB的对称点E′，作点E关于AC的对称点E″，连接E′E″交AB于点D，交AC于点F，顺次连接即可得到所求作的△DEF．

解答：解：（1）如图1，作点D关于BC的对称点D′连接D′F交BC于E，则△DEF为所求；

（2）如图2，作点D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″交BC、AC于E、F，则△DEF为所求；


（3）如图3，过A作AE⊥BC，过点E分别作AB、AC的对称点E′、E″连接E′E″交AB、AC于D、E，则△DEF为所求．

点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，其理论依据是三角形的两边之和大于第三边，作出对称点是解题的关键．