Question

如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点E，点D是BC边的中点，连接ED．
（1）试说明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O 直径为6，线段BC长为8，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）可求得∠DEO=90°，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出AB，以及利用三角形面积求出BE，进而得出AE的长．

解答：解：（1）证明：连接BE，EO；
∵AB为⊙O直径．
∴∠AEB=90°．
∴△CEB为直角三角形．
∵D为BC中点；
∴DC=BD=ED．
∴∠DEB=∠EBD．
∵EO=OB；
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB+∠DEB=∠OBE+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠DEO=90°．
∴DE与⊙O相切于点E．

（2）解：∵BE⊥AC，
∴BE×AC=AB×BC，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴BE=4.8，
∴AE=

AB 2-BE2

=

18

5

．

点评：此题主要考查了切线的判定方法以及勾股定理和三角形面积求法应用，根据已知得出BE的长是解题关键．