Question

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA=，AD=OD，点B的横坐标为
（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积．
（2）已知反比例函数y₁和一次函数y₂，结合图象直接写出：当y₁＞y₂时，x的取值范围．
（3）在坐标轴上是否存在点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，连接OB，在Rt△AOD中，OA=，AD=OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，故A（-2，1），设B点纵坐标为h，已知B点横坐标为，
则（-2）×1=h，
解得h=-4，
故B（，-4），
设直线AB解析式为y=kx+b，则，
得，
直线AB解析式为y=-2x-3，由此可得C（-，0），
所以，S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=××（1+4）=；

（2）当y₁＞y₂时，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞；

（3）存在点P使△OAP为等腰三角形，
此时，P点坐标为（，0），（0，），（-4，0），（0，2），（-，0），（，0），（0，），（0，-）．
分析：（1）连接OB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD、AD，确定A点坐标，根据反比例函数图象上的点横坐标与纵坐标的积不变，求B点纵坐标，根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，根据直线AB的解析式求OC的长，求△AOB的面积；
（2）根据A、B两点的横坐标，可求当y₁＞y₂时，x的取值范围；
（3）①当AO为等腰三角形的底时，作线段OA的中垂线，与坐标轴相交，有两交点为所求P点；
②当OA为腰，点A为顶点时，以A为圆心，OA长为半径圆弧，与坐标轴相交，有两交点为所求P点；
当OA为腰，点O为顶点时，以O为圆心，OA长为半径圆弧，与坐标轴相交，有四个交点即为所求P点．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据勾股定理求A点坐标，根据反比例函数图象上点的特点求B点坐标，确定直线AB的解析式，再结合图象的性质，等腰三角形的性质解题．