Question

如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．
（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若OA=1，PA=2，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，证△PAO≌△PCO，推出∠POA=∠POC，求出∠OCB=∠OBC，推出∠CBO=∠POA，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出OP，证相似，根据相似求出BC长，再证△CBD∽△POD，得出比例式，求出BD即可．

解答：（1）猜想：BC∥OP，
证明：连接OC，
∵PA、PC与⊙O相切，
∴OA⊥PA，OC⊥PC，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
在Rt△PAO和Rt△PCO中

OP=OP OA=OC

∴Rt△PAO≌Rt△PCO，
∴∠AOP=∠COP=

1

2

∠AOC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OBC=∠AOC，
∴∠OCB=∠OBC=

1

2

∠AOC，
∴∠AOP=∠OBC，
∴BC∥OP；

（2）解：在Rt△PAO中，∠PAO=90°，OA=1，PA=2，由勾股定理得：PO=

11+22

=

5

，
作OE⊥BC，垂足为E．则∠PAO=∠OEB=90°，BE=

1

2

BC，
∵∠AOP=∠EBO，∠PAO=∠BEO=90°，
∴△OAP∽△BEO，
∴

OA

OP

=

BE

OB

，
即

1

5

=

1 2 BC

1

，
解得：BC=

2 5

5

，
由（1）知BC∥OP，
∴△DCB∽△DPO，
∴

OD

OP

=

BD

BC

，即

BD+1

5

=

BD

2 5 5

，
∴BD=

2

3

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．