Question

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．当S_△PQE：S_△ABC=1：40时，求运动时间t．

Answer 1

分析 作PM⊥AB于M，证明△EMP∽△EDA，表示出PE，表示出△PQE的面积，根据题意列出方程，解方程即可．

解答 解：作PM⊥AB于M，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，
DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，又PM⊥AB，
∴△EMP∽△EDA，
∴$\frac{PM}{AD}$=$\frac{PE}{AE}$，
PE=4-t，
PM=$\frac{12-3t}{5}$，
△PQE的面积为：$\frac{1}{2}$×（5-2t）×$\frac{12-3t}{5}$，
△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴$\frac{1}{2}$×（5-2t）×$\frac{12-3t}{5}$=24×$\frac{1}{40}$，
解得：t₁=2，t₂=$\frac{9}{2}$

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质表示出有关线段的长，列出方程是解题的关键．