Question

2．函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0），（m，0），且1＜m＜2，当x＜-1时，y随x增大而减小，下列结论：
①abc＞0；
②a+b＜0；
③若点A（-3，y₁），B（3，y₂）在抛物线上，则y₁＜y₂；
④a（m-1）+b=0；
⑤c≤-1时，则b²-4ac≤4a．
其中结论正确的有①④．

Answer 1

分析 根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜-$\frac{b}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（-3，y₁）和点B（3，y₂）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a-b+c=0，am²+bm+c=0，两式相减得am²-a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m-1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜c≤-1，变形得到b²-4ac＞4a，则可对⑤进行判断

解答 解：如图，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
所以①的结论正确；
∵抛物线过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜-$\frac{b}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$=$\frac{a+b}{2a}$＞0，
∴a+b＞0，
所以②的结论错误；
∵点A（-3，y₁）到对称轴的距离比点B（3，y₂）到对称轴的距离远，
∴y₁＞y₂，
所以③的结论错误；
∵抛物线过点（-1，0），（m，0），
∴a-b+c=0，am²+bm+c=0，
∴am²-a+bm+b=0，
a（m+1）（m-1）+b（m+1）=0，
∴a（m-1）+b=0，
所以④的结论正确；
∵$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜c，
而c≤-1，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜-1，
∴b²-4ac＞4a，所以⑤的结论错误．
故答案为①④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．