Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，过A、B、C 作⊙P．

（1）求b、c的值；

（2）求证：线段AB是⊙P的直径；

（3）连接AC，AD，在坐标平面内是否存在点Q，使得△CDA～△CPQ，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) ;(2)证明见解析；（3）Q1（-，-），Q2（，）．

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线的系数b，c；

（2）先求出点C（0，2），再根据A（4，0）、B（-1，0），求出AC2，BC2，AB2，用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形即可；

（3）先求出线段AC，AD，CD，CP，根据三角形相似得到比例式，再设出点Q的坐标建立方程求解．

试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（4，0）、B（-1，0），

∴，

∴

（2）由（1）可知抛物线的解析式为：y=-x2+x+2，C（0，2），

∵A（4，0）、B（-1，0），

∴BC2=OB2+OC2=1+4=5，AC2=OA2+OC2=16+4=20，AB2=25，

∴BC2+AC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴线段AB是⊙P的直径；

（3）由（1）可知抛物线的解析式为：y=-x2+x+2，

∴D（，），

∵A（4，0），C（0，2），

∴AC=2，AD=，CD=，

∵P（，0），

∴CP=，

∵△CDA∽△CPQ，

∴

∴，

∴PQ=，CQ=，

设点Q（m，n），

∴PQ==，

CQ==，

∴或，

∴Q1（-，-），Q2（，）．