Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，以AB为边在半圆同侧作正方形ABCD，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连接DQ，设半圆的半径为a．

（1）判断直线DQ与半圆O的位置关系，并说明理由；

（2）求sin∠DQP的值．

Answer 1

【答案】（1）DQ是半圆的切线，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OQ，OD，得出四边形DOBP是平行四边形，证得△AOD≌△QOD，求得∠OQD＝∠OAD＝90°，得到OQ⊥DQ，即可得证；（2）求得∠DQP＝∠ODQ，OD＝=，利用sin∠DQP＝sin∠ODQ＝即可求解.

解：（1）DC和半圆O相切

连接OQ，OD，如图

∵DP∥OB，DP＝OB

∴四边形DOBP是平行四边形

∴DO∥BP

∴∠AOD＝∠OBP，∠DOQ＝∠OQB

∵OB＝OQ

∴∠OBP＝∠OQB

∴∠AOD＝∠QOD

∴△AOD≌△QOD（SAS）

∴∠OQD＝∠OAD＝90°

∴OQ⊥DQ即DQ是半圆的切线

（2）由①可知，DO∥BP

∴∠DQP＝∠ODQ

∵DQ＝AD＝2a，OQ＝a

∴∠DQP＝∠ODQ

∵DQ＝AD＝2a，OQ＝a

∴OD＝=

∴sin∠DQP＝sin∠ODQ＝