Question

【题目】如图，在中，，，是斜边上两点，且，若，，则的长为__.

Answer 1

【答案】

【解析】

过点B作边BC的垂线截取BF=DC=3，即可构造出两直角边分别为3和4，斜边为5的直角三角形，连接AF易证明△AFB≌△ADC，连接FE易证明△AFE≌△ADE，从而求得DE=EF=5，进而求得BC的长，再根据△ABC是等腰直角三角形，利用三角函数易求得AB的长．

解：如图过B作BC的垂线，垂足为B，并截取BF=CD，连接FE，AF．
∵∠FBE=90°，FB=3，BE=4
∴在Rt△FBE中,FE2=FB2+BE2=32+42=52
∴FE=5
又∵AB=AC，∠BAC=90°,
∴Rt△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBA=∠FBC-∠ABC=90°-45°=45°,
∴∠FBA=∠ACB,

在△AFB与△ADC中

∴△AFB≌△ADC（SAS）
∴∠2=∠3，AF=AD
又∵∠1+∠EAD+∠2=90°,
∴∠1+∠2=45°
∴∠FAE=∠1+∠3=∠1+∠2=45°
∴∠FAE=∠DAE
∴在△AFE与△ADE中

∴△AFE≌△ADE（SAS）
∴FE=DE=5
∴BC=BE+ED+DC=4+5+3=12
又∵在Rt△ABC中AB= BC cos∠ABC
即AB=12×cos45°=12=6.

故答案为：6.