Question

15．如图①，在长方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
（1）PC=（5-t）cm．（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP，请说明理由；
（3）如图②，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样a的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出BP，计算即可；
（2）根据全等三角形的判定定理解答；
（3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答．

解答 解：（1）∵点P的速度是1cm/s，
∴ts后BP=tcm，
∴PC=BC-BP=（5-t）cm，
故答案为：5-t；
（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP，
∵当t=2.5时，BP=CP=2.5，
在△ABP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCP；
（3）∵∠B=∠C=90°，
∴当AB=PC，BP=CQ时，△ABP≌△PCQ，
∴5-t=3，t=at，
解得，t=2，a=1，
当AB=QC，BP=CP时，△ABP≌△QCP，
此时，点P为BC的中点，点Q与点D重合，
∴t=2.5，at=3，
解得，a=1.2，
综上所述，当a=1或a=1.2时，△ABP与△PCQ全等．

点评 本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握矩形的对边相等、四个角都是直角以及全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．