Question

如果a为不等于±2的整数，证明方程x⁴+ax+1=0没有有理根．

Answer 1

证明：若a=2或者-2，方程有有理根，
当=2时，有理根x=-1；等于-2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．
x⁴±2x+1=0，即x⁴-x²+x²±2x+1=x²（x+1）（x-1）+（x±1）²=0，此等式有公因式，可得x=±1．
而由题意知：a≠±2，即x≠±1．
则有a=-=-x³-，其中x≠±1．
a为整数，而a=-x³-，若x为整数且x≠±1，那么x³为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．
若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，b≠0．
那么-x³-=-=-．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式的值不为整数．
故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．
故当a为整数时，方程没有有理根．
分析：首先用x表示出a，即a=-x³-，再进一步分析x的取值，x不是整数，若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，从而确定x的取值范围．
点评：此题主要考查了一元二次方程有理根以及整数根的有关知识，以及两数互质问题，综合性较强．