Question

【题目】如图，点C在⊙O上，AB为直径，BD与过点C的切线垂直于D，BD与⊙O交于点E．

（1）求证：BC平分∠DBA；

（2）如果cos∠ABD=，OA=2，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

（1）如图1中，连接OC，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，由BD⊥CD，推出OC∥BD，推出∠OCB=∠CBD，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，即可推出∠CBO=∠CBD；
（2）如图2，连接AC、AE．易知四边形AEDC是直角梯形，求出CD、AE、BE长，则DE可求出．

（1）证明：如图1中，连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，

∴OC∥BD，

∴∠OCB=∠CBD，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠CBO=∠CBD，

∴BC平分∠DBA；

（2）解：如图连接AC、AE．

∵cos∠ABD=，

∴∠ABD=60°，

由（1）可知，∠ABC=∠CBD=30°，

在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4，

∴BC=ABcos30°=2，

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠BAE=30°，AB=4，

∴BE=AB=2，AE=2，

在Rt△CDB中，∵∠D=90°，∠CBD=30°，BC=2，

∴CD=BC=，BD=3，

∴DE=DB-BE=3-2=1．