邻边不相等的矩形纸片.剪去一个最大的正方形.余下一个四边形.称为第一次操作.在余下的矩形纸片中再剪去一个最大的正方形.余下一个四边形.称为第二次操作.-依此类推.若第n次余下的四边形是正方形.则称原矩形为n阶方形.如图.矩形ABCD中.若AB=1.BC=2.则矩形ABCD为1阶方形．(1)判断:邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形,邻边长分别为3和4的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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邻边不相等的矩形纸片，剪去一个最大的正方形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的矩形纸片中再剪去一个最大的正方形，余下一个四边形，称为第二次操作，…依此类推，若第n次余下的四边形是正方形，则称原矩形为n阶方形，如图，矩形ABCD中，若AB=1，BC=2，则矩形ABCD为1阶方形．
（1）判断：邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形；邻边长分别为3和4的矩形是3阶方形；
（2）已知矩形ABCD是3阶方形，其边长分别为1和a（a＞1），请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在下方写出的a值；
（3）已知矩形ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=5b+r，b=4r，请直接写出矩形ABCD是几阶方形．

分析（1）第一个最大正方形边长为2，第二个最大正方形边长为1，余下的正方形边长为1，所以邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形；
第一个最大正方形边长为3，第二个和第三个最大正方形边长都为1，余下的正方形边长为1，所以邻边长分别为3和4的矩形是3阶方形；
（2）a有四个值：当a=4时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1；
当a=$\frac{5}{2}$时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为$\frac{1}{2}$，余下的正方形边长为$\frac{1}{2}$；
当a=$\frac{4}{3}$时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为$\frac{1}{3}$，余下的正方形边长为$\frac{1}{3}$；
当a=$\frac{5}{3}$时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为$\frac{2}{3}$，第三个正方形边长为$\frac{1}{3}$，余下的正方形边长为$\frac{1}{3}$；
（3）先计算a=21r，前五个正方形边长都为4r，后四个正方形边长都为r，所以矩形ABCD是8阶方形．

解答解：（1）答案为：2阶，3阶；
作图如下：

（2）作图如下：

（3）∵a=5b+r，b=4r，
∴a=5×4r+r=21r，
作图如下：

则矩形ABCD是8阶方形．

点评本题是一个四边形的阅读理解题，考查了学生的阅读理解能力；给出一个新的定义，按此定义理解并解决问题，这类题的关键是找重点语句：依次找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；有n个正方形，就是n-1阶方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．

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