Question

已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证：BF∥AC；
(2) 若AC边的中点为M，求证：；
(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

图1                                    图2

Answer 1

证明：（1）如图6．
∵ 点B关于直线CH的对称点为D，
CH⊥AB于点H，
直线DE交直线CH于点F，
∴ BF=DF，DH=BH．
∴ ∠1=∠2．
又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，
∴ ∠A＝∠2．
∴ BF∥AC．
（2）取FD的中点N，连结HM、HN.
∵ H是BD的中点，N是FD的中点，
∴ HN∥BF．
由（1）得BF∥AC，
∴ HN∥AC，即HN∥EM．
∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
AC边的中点为M，
∴ ．
∴ ∠A＝∠3．
∴ ∠EDA=∠3．
∴ NE∥HM．
∴ 四边形ENHM是平行四边形．
∴ HN=EM．
∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，
∴ ，即．
∴ ．
（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）
证明：连结CD．（如图8）
∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，
∴  BC=CD，∠ABC＝∠5．
∵  AB＝BC，
∴ ，
 AB＝CD．①
∵ ∠EDA=∠A，
∴ ，AE=DE．②
∴ ∠ABC＝∠6=∠5．
∵ ∠BDE是△ADE的外角，
∴ ．
∵ ，
∴ ∠A＝∠4．③
由①，②，③得 △ABE≌△DCE．
∴ BE= CE．
由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．
由（1）中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF．
∴ ∠CFE=∠ECF．
∴ EF=CE．
∴ BE=EF．             ∴ BE=EF=CE．
（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）

略