Question

如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．
（1）求证：BE=DC；
（2）求∠BOD的度数；
（3）求证：OA平分∠DOE．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中
∵
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC．

（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中，∠BOD=180°-∠BDO-∠DBA-∠ABE
=180°-∠DBA-（∠ADC+∠BDO）
=180°-60°-60°
=60°．

（3）证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S_△ABE=S_△ADC
∴
∴AM=AN
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE．
分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可．
（2）根据全等求出∠ADC=∠ABE，在△DOB中根据三角形的内角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案．
（3）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可．
点评：本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用．