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【题目】(I)圆中最长的弦是________

(Ⅱ)如图①,AB 是⊙O 的弦,AB=8, C 是⊙O 上的一个动点∠ACB=45°, 若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点,则 MN 长度的最大值是___

(Ⅲ)如图②,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=4,D 是边 BC 上的一个动点,以 AD 为直径画⊙O,分别交 AB、AC 于点 E、F,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为_____

【答案】直径 4

【解析】

(Ⅰ)根据直径是圆中最长的弦解答即可;

(Ⅱ)根据中位线定理得到 MN 的长最大时,BC 最大,当 BC 最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最大值.

(Ⅲ)由垂线段的性质可知,当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时,直径 AD 最短, 此时线段 EF=2EH=20Esin∠EOH=20Esin60°,因此当半径 OE 最短时,EF 最短,连接OE,OF,过 O 点作 OH⊥EF,垂足为 H,在 Rt△ADB 中,解直角三角

形求直径 AD,由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°,在 Rt△EOH 中,

解直角三角形求 EH,由垂径定理可知 EF=2EH.

解:(Ⅰ)直径是圆中最长的弦,故答案为:直径;

(Ⅱ)如图 1,∵点 M,N 分别是 AB,AC 的中点,

∴MN=BC,

∴当 BC 取得最大值时,MN 就取得最大值,当 BC 是直径时,BC 最大, 连接 BO 并延长交⊙O 于点 C′,连接 AC′,

∵BC′是⊙O 的直径,

∴∠BAC′=90°.

∵∠ACB=45°,AB=8,

∴∠AC′B=45°,

∴BC′= ==8

∴MN 最大=4故答案为:4

(Ⅲ)由垂线段的性质可知,当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时,直径 AD 最短,

如图 2

连接 OE,OF,过 O 点作 OH⊥EF,垂足为 H,

∵在 Rt△ADB 中,∠ABC=45°,AB=4,

∴AD=BD=2,即此时圆的直径为 2

由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°,

∴在 Rt△EOH 中,EH=OEsin∠EOH=×=

由垂径定理可知 EF=2EH=故答案为:

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