Question

23、如图甲，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线CD切⊙O于点C，过点A作⊙O的直径AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图乙，将直线CD向下平行移动，得到CD与⊙O相切于C，AC还平分∠DAB吗？说明理由；
（3）在将直线CD向下平行移动的过程中，如图丙、丁，试指出与∠DAC相等的角（不要求证明）．

Answer 1

分析：（1）可连接OC，那么OC⊥CD，可根据同角的余角相等来证得；
（2）和（1）思路一样，也是连接OC，通过OD∥AD，根据内错角相等，将相等的角进行转换证得；
（3）丙图，可连接BC，根据AB是直径，那么∠ACB=90°，然后根据∠ADC=90°，根据同角的余角相等，我们可得出∠DAC=∠BCF，又因为∠BCF和∠BAF同对一段弧，所以∠DAC=∠BAF．丁图，可连接BC、BF，直角三角形DAF中，∠DAC+∠CAF+∠CFA=90°，直角三角形BFA中∠ABC+∠CBF+∠BAF=90°，运用圆周角定理将行动的角进行替换后即可得出∠DAC=∠BAF．

解答：解：（1）证明：连接OC，
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC，得∠OAC=∠OCA．
∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥OC．
又∵CD⊥PA，
∴OC∥PA，于是得∠PAC=∠OCA．
故∠OAC=∠PAC，表明AC平分∠DAB；

（2）AC平分∠DAB，连接OC，
∵CD切⊙O于C，
∴CD⊥OC．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，于是得∠COB=∠DAB．
而OA=OC，所以∠CAO=∠ACO．
因此∠DAC=∠ACO=∠CAO，表明AC平分∠DAB；

（3）∠DAC=∠BAF，
证明：（丁图），可连接BC、BF，
直角三角形DAF中，∠DAC+∠CAF+∠CFA=90°，
直角三角形BFA中∠ABC+∠CBF+∠BAF=90°，
又因为∠CFA=∠ABC，∠CAF=∠CBF，
所以∠DAC=∠BAF．

点评：本题主要考查了圆周角定理，切线的性质等知识点．运用好圆周角定理是本题的关键．