Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF=BC-CD．
（2）当点D在线段BC的延长线上（如图2），在线段CB的延长线上（如图3）时，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立请选择一种情况进行证明，如不成立，请直接写出新的关系式不需证明．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=BC-CD；

（2）解：（1）中结论不成立，图2中的关系式为：CF=BC+CD．理由如下：
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=BC+CD；
图3中的关系式为：CF=CD-BC．理由如下：
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF-∠BAC=∠BAC-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF=CD-BC．
分析：（1）根据正方形的性质得AD=AF，∠DAF=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠BAD=∠CAF，则根据“SAS”可判断△ABD≌△ACF，得到BD=CF，所以CF=BC-CD；
（2）对于图2，由四边形ADEF为正方形得到AD=AF，∠DAF=90°，则∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，则根据“SAS”可判断△ABD≌△ACF，得到BD=CF，所以CF=BC+CD；
对于图3，由四边形ADEF为正方形得到AD=AF，∠DAF=90°，根据等角的余角相等得∠BAD=∠CAF，则根据“SAS”可判断△ABD≌△ACF，得到BD=CF，所以CF=CD-BC．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．也考查了正方形的性质．