Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤ t≤3）．

（1）用的代数式表示PC的长度；
（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.
（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

【答案】
（1）BP=2t，则PC=BC﹣BP=6﹣2t；
（2）△BPD和△CQP全等
理由：∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘米，
∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米，
∵AB=8厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4厘米．
∴PC=BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）解：∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，点Q运动的时间t= = 秒，
∴VQ= = = 厘米/秒．
【解析】（1）根据题意P点运动的路程为2t，即BP=2t，然后根据线段的和差得出PC=BC﹣BP=6﹣2t；
（2） △BPD和△CQP全等 理由如下：当t=1时，BP=CQ=2×1=2厘米，根据线段的和差CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米，根据中点的定义得出BD=4厘米，从而得出PC=BD，然后利用SAS判断出△BPD≌△CQP ；
（3）点P、Q的运动速度不相等，故BP≠CQ ，又△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，故BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，从而求出点P，点Q运动的时间t的值，进一步根据路程除以时间等于速度得出Q点的运动速度。