Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，直线y＝x＋2交y轴于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；

(3)是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋3x＋4；(2)P点坐标为(2，4)；(3) P点坐标为(2，4)或(－1＋，1＋)．

【解析】

（1）把A与B的坐标代入抛物线的解析式中，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到a与b的值，然后把a与b的值代入抛物线的解析式即可确定出抛物线的解析式；
（2）因为PQ与y轴平行，要使四边形PDCQ为平行四边形，即要保证PQ等于CD，所以令x=0，求出抛物线解析式中的y即为D的纵坐标，又根据抛物线的解析式求出C的坐标，即可求出CD的长，设出P点的横坐标为m即为Q的横坐标，表示出PQ的长，令其等于2列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，判断符合题意的m的值，即可求出P的坐标；
（3）存在．分两种情况考虑：当OB作底时，求出线段OB垂直平分线与直线EF的交点即为P的位置，求出此时P的坐标即可；当OB作为腰时，得到OB等于OP，根据等腰三角形的性质及OB的长，利用勾股定理及相似的知识即可求出此时P的坐标．

(1)根据题意，得

解得

∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4；

(2)∵PQ∥y轴，∴当PQ＝CD时，四边形PDCQ是平行四边形，

∵当x＝0时，y＝－x2＋3x＋4＝4，y＝x＋2＝2，

∴C(0，4)，D(0，2)，

设点P的横坐标为m，∴PQ＝(－m2＋3m＋4)－(m＋2)＝2，解得m1＝0，m2＝2.

当m＝0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，

∴m＝2，m＋2＝4，∴P点坐标为(2，4)；

(3)存在，P点坐标为(2，4)或(－1＋，1＋)．