Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（　　）

A．22.5或20

B．22.5

C．24或20

D．20

Answer 1

分析：首先过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，根据角平分线的性质，即可得EM=EN，然后设S_△ACD=x，根据三角形的面积求解方法，可得

S△ACE

S△BCE

=

AC

BC

=

AE

BE

=

x+3

15

，又由△ACD∽△CBD，可得

S△ACD

S△BCD

=

AC2

BC2

=（

x+3

15

）²，即可得方程：

x

18

=（

x+3

15

）²，解此方程即可求得答案．

解答：解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴EM=EN，
设S_△ACD=x，
∵S_△ACE=

1

2

AC•EN=

1

2

AE•CD，S_△BCE=

1

2

BC•EM=

1

2

BE•CD，
∴

S△ACE

S△BCE

=

AC

BC

=

AE

BE

=

x+3

15

，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴

S△ACD

S△BCD

=

AC2

BC2

=（

x+3

15

）²，
∵

S△ACD

S△BCD

=

x

18

，
∴

x

18

=（

x+3

15

）²，
解得：x=2或4.5，
∴S_△ABC=2+18=20或S_△ABC=18+4.5=22.5．
故选A．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形面积的求解方法．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．