【题目】如图,点D是直角等腰△ABC斜边AB的中点,M为边AC上不和A、C重合的一动点,联结DM,过D作DNDM,交BC于N,联结MN.
(1)求证:以AM、MN、BN为边的三角形是直角三角形
(2)如果AC2,AMx,试用x表示△DMN的面积,并求当ADM22.5时△DMN的面积.
【答案】(1)见解析;(2),
【解析】
(1)连接、MN,结合等腰直角三角形的性质利用ASA可证,由全等三角形的性质可得,,由是直角三角形可知以为边的三角形时直角三角形;
(2)易知,,由勾股定理可得MN长,由(1)中可知,结合勾股定理可知MD长,根据三角形面积公式可用x表示出△DMN的面积,当ADM22.5时,可得,在中,根据勾股定理可得CD长,求出x值代入△DMN的面积的表达式中即可求解.
(1) 如图,连接、MN,
是等腰直角三角形
点D是AB的中点
在和中,
∴
是直角三角形,即以为边的三角形时直角三角形
∴以为边的三角形时直角三角形
(2),由(1)知
在中,根据勾股定理得,
在中,根据勾股定理得
即 ,
所以
当时,,
,
在中,根据勾股定理得
由(1)知
,
,解得
将代入得.
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【题目】如图,是边长为9的等边三角形,是边上一动点,由向运动(与、不重合),是延长线上一动点,与点同时以相同的速度由向延长线方向运动(不与重合),过作于,连接交于
(1)若时,求的长
(2)当点,运动时,线段与线段是否相等?请说明理由
(3)在运动过程中线段的长是否发生变化?如果不变,求出线段的长;如果发生变化,请说明理由
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【题目】如图, 在东西方向的海岸线MN上有A,B两港口,海上有一座小岛P,渔民每天都乘轮船从A,B 两港口沿AP,BP的路线去小岛捕鱼作业.已知小岛P在A港的北偏东60°方向,在B港的北偏西45°方向,小岛P距海岸线MN的距离为30海里.
(1)求AP,BP的长(参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2);
(2)甲、乙两船分别从A,B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业,甲船比乙船晚到小岛24分钟.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,利用(1)中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时?
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【题目】某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动,小庆对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计解析,绘制了如下不完整的统计表和统计图(图).
次数 | 10 | 8 | 6 | 5 |
人数 | 3 | a | 2 | 1 |
(1)表中a= ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况,参加了10次活动的成员被选中的概率有多少?
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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(2,8),且与x轴相切于点B.
(1)当x>0,y=5时,求x的值;
(2)当x = 6时,求⊙P的半径;
(3)求y关于x的函数表达式,请判断此函数图象的形状,并在图②中画出此函数的图象(不必列表,画草图即可).
图① 图②
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【题目】如图,海中有一小岛P,在距小岛P的海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(-1,4),B(-5,3),C(-3,2).
(1)将△ABC向下平移6个单位后得到△A1B1C1,请在图中画出△A1B1C1,并写出C1点坐标;
(2)图中点A2(1,2)与点A关于直线l成轴对称,请在图中画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2,并写出B2点坐标.
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【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
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【题目】某市为支援灾区建设,计划向、两受灾地运送急需物资分别为60吨和140吨,该市甲、乙两地有急需物资分别为120吨和80吨,已知甲、乙两地运到、两地的每吨物资的运费如表所示:
甲 | 乙 | |
20元/吨 | 15元/吨 | |
25元/吨 | 24元/吨 |
(1)设甲地运到地的急需物资为吨,求总运费(元)关于(吨)的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
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